科技猎《疯狂动物城》如何颠覆传统技术?
顾险峰 (纽约州立大学石溪分校终身教授，清华大学丘成桐数学科学中心访问教授，计算共形几何创始人)
依随数字媒体，动漫动画，VR/AR产业的迅猛发展，许多工程应用需要微分几何，代数拓扑以及黎曼几何中的深刻定理。就目前教育情况来看，这些现代几何拓扑知识不可能被传统的计算机科学教育所涵盖，同时纯粹数学领域的教育也无法直接深入到工程技术层面。在现实中，从工程需求的提出，到算法设计，到计算数学，再到纯粹数学，每一步都需要一定程度的发明创造，更需要不同领域之间的交流与合作。本文以《疯狂动物城》中动物毛发的建模设计来讲解黎曼几何中的和乐群概念，以及如何在拓扑复杂的曲面上设计切向量场。
迪斯尼的动画片《疯狂动物城》描绘了动物王国发生的趣事，反映了年轻人冲破自身背景藩篱，追求梦想的励志故事。片中的动物造型憨态可掬，表情丰富，个性鲜明，令人忍俊不禁。从技术层面而言，《疯狂动物城》对于动物皮毛的几何建模和真实感绘制取得了前所未有的突破。这等价于 几何中的曲面光滑矢量场设计问题 。
图1. 《疯狂动物城》中动物毛发建模和渲染取得了突破。
庞加莱-霍普夫定理
给定一个光滑曲面
，曲面的光滑矢量场可以看成是一个光滑映射
。矢量场可以被分解为两部分：切矢量场和法矢量场。法矢量场的结构非常简单直接，可以表示成一个标量函数和曲面法向量场的乘积
,这里
是标量函数，
是曲面法向量场。下面，我们着重讨论切矢量场。我们依然用符号
来表示曲面的切矢量场。
曲面的切矢量场和拓扑存在着基本的关系，由庞加莱-霍普夫定理来刻画。我们考察切矢量场的零点集合：
，
矢量场经过微小扰动，我们可以假设零点都是孤立零点。选定一个零点
，围绕零点选定一个拓扑小圆盘
，定义映射从圆盘边缘映到单位圆
：
,
这个映射诱导了同伦群之间的映射：
,
都是整数加群，因此
。这里的整数
被称为是零点的指标：
。
图2. 矢量场中的源（A,C )和汇（B,D )，以及鞍点（E )，其指标分别为+1，+1和-1。
如图2所示，光滑流场中的源（A,C )和汇（B,D )的指标为正1，鞍点（E )的指标为负1。著名的庞加莱-霍普夫( Poincare-Hopf )定理断言： 假设
是一个紧的可定向光滑曲面，
是曲面上的一个光滑向量场，
具有孤立零点。如果
有边界，矢量场在边界上指向外法向，我们有公式
这里我们取遍所有孤立零点，
是曲面的欧拉示性数。
庞加莱-霍普夫定理解释了为什么每个人的头顶都有发旋。这一定理的现代观点如下：假设曲面
封闭，每一点处的单位切向量构成一个圆周。我们定义曲面的单位切丛为曲面的所有单位切向量构成的流形，则单位切丛为以圆周为纤维，以曲面为底空间的纤维丛。单位切丛的一个全局截面是和每根纤维相截的曲面。 庞加莱-霍普夫定理断言这种全局截面不存在，全局截面存在的拓扑障碍是曲面的欧拉示性数 。
通俗的讲，如果一个曲面的欧拉示性数不为零，那这个曲面上长的头发一定要有漩涡，顺时针漩涡的数目加上逆时针漩涡的数目减去鞍点的数目正好等于欧拉示性数。
平行移动
平行移动是黎曼几何中最为基本的概念。如图3所示，令
是平面上的一条直线段。我们在起点处选择一个平面矢量
，然后将
的起点沿着直线移动，同时保持
和直线切向量的夹角不变，这样我们得到
沿着
的 平行移动 ，在直线的终点处得到平行移动的结果
。假设
是折线段，我们可以逐段平行移动。如果
是曲线，我们可以用折线来逼近曲线。我们取曲线上的采样点
,
然后用直线段连接相邻的两个采样点，这样得到折线。我们将
沿着这条折线平行移动得到
。令
趋向无穷，则折线收敛到原来曲线，
会趋向到一个极限向量
。我们说
沿着
平行移动的结果是
。
图3. 平面上的平行移动。
下面我们将平行移动的概念从平面推广到曲面情形。曲面上平行移动的定义方式和平面情形相类似， 唯一的区别是将直线换成测地线 。更为详尽地，如果曲线
是定义在曲面
上的一条测地线，我们在起点处选择一个切矢量
，然后将
的起点沿着测地线移动，同时保持
和测地线切向量的夹角不变，这样我们得到
沿着
的平行移动，在测地线的终点处得到平行移动的结果
。如果
是定义在曲面上的任意一条分片光滑曲线，则我们可以在
上采样，并用分片测地线来逼近
，同时在分片测地线上逐段平行移动。当采样密度趋于无穷的时候，分片测地线收敛到原来曲线，逐段平行移动的结果趋于一个极限切向量
，则我们将
定义为
沿着
的平行移动结果。
高斯-博内定理
平面上的平行移动只和起点和终点有关，和平行移动所经历的路径无关。换言之，如果
是平面上的一条封闭曲线，沿着
平行移动矢量
得到
，则
和
重合。
图4. 高斯-博内定理。
如果
是曲面上的一条分片光滑封闭曲线，如果
是曲面某个区域
的边界
，那么沿着
平行移动矢量
得到
，则
和
不一定重合，其相差的角度等于曲面的高斯曲率在区域
上的积分。这可以由高斯-博内（Gauss-Bonnet）定理来精确描述：
,
这里
是内点处的高斯曲率，
是边界点处的测地曲率，
是曲线在折角处的外角。如果曲面的高斯曲率非零，则平行移动的结果依赖于路径的选择。由此，我们可以提炼出和乐群的概念。
和乐群
给定带黎曼度量的光滑曲面
，和其上的基点
，考察所有经过基点的封闭曲线
， 我们沿着
平行移动切向量
得到
，则
和
之间相差一个旋转，所有这种旋转构成的群被称为是曲面的和乐群（Holonomy Group）。陈省身先生非常重视和乐群的研究，因为和乐群反映了黎曼流形的几何特性。如果曲面的黎曼度量为平直度量，高斯曲率处处为0，那么如果
同伦平庸（即
同伦于点），那么
对应的holonomy平庸。由此推出，如果两个封闭曲线同伦，则它们的holonomy相同。这意味着 平直度量可以简化和乐群 ，我们利用这一点来构造曲面上的光滑切矢量场。
图5. 曲面基本群生成元。
给定一个亏格为
的曲面
，用户选择
个点，作为切矢量场的零点
，并且指定这些零点的指标
，满足庞加莱-霍普夫公式：零点的总指标等于曲面的欧拉示性数，
。
我们在曲面的每个环柄上选择两个封闭曲线
，围绕每个零点
选择一条封闭曲线
。带孔曲面定义为：
，
其基本群为
。
我们可以用Ricci 流的方法构造一个平直度量，使得曲面的高斯曲率集中在零点上，
点处的曲率等于
乘以其指标，其他各点的高斯曲率处处为0。
根据定义，
的holonomy为0，但是
的holonomy依然复杂，我们假设相应的holonomy分别是
和
。我们构造一个微分1-形式
,满足
,
在构造光滑矢量场时，
用于补偿平直度量诱导的holonomy。
我们在带孔曲面上任选一点
，任选一个单位切向量
，对于带孔曲面上任意一点
，我们可以任选一条连接
和
的路径
，将
沿着
平行移动到
点，然后再旋转
角，这里
，
这样，可以证明我们在带孔曲面上生成了一个光滑切矢量场，切矢量的长度处处为1。然后我们构造一个光滑函数
，
在零点处为0，其他各处为正，则
和带孔曲面上的光滑单位切矢量场之积是原来曲面上的一个光滑矢量场，其零点以及零点的指标由用户指定。
图6. 亏格为0的曲面上只有一个零点的光滑向量场。
图7. 亏格为2的曲面上只有一个零点的矢量场。
图6显示了亏格为0曲面上只有一个零点的光滑矢量场。图7显示了亏格为2的曲面上只有一个零点的切矢量场。左帧是如上构造的用于补偿holonomy的微分形式，中帧显示的是未加补偿直接由平行移动生成的切矢量场，其上存在间断曲线，右帧是补偿后的光滑矢量场。
图8. 维纳斯雕塑曲面上的矢量场，零点由用户指定。
图9. 将曲面转换成编织模型。
图10. 将曲面转换成编织模型。
同样的方法，也可以用于生成曲面上的光滑标架场。如图8所示，曲面上的标架场用于自动生成铅笔素描画，这可以用计算机来模拟艺术家来进行非真实感绘制。图9和图10显示了将曲面自动转换成编织模型，这为数字制造提供了新颖的思路。
总结
《疯狂动物城》中动物毛发的设计等价于曲面上构造光滑切矢量场，这涉及到平行移动和和乐群的基本概念和定理。在实际动漫制作中，动漫艺术家或许并没有系统地学习过拓扑和黎曼几何，但通过大量的艺术实践，他们积累了几何直觉，对于和乐群的概念有着直观的感受。他们可以把这些经验耳传身授给徒弟，但是无法用明晰严格的语言表达著述，从而无法广泛传播和继承。 从实践经验到普适理论，这需要提炼升华和严格证明，这也是工业界和学术界价值体系的根本区别之一。
在目前的教育体系下，现代几何和计算机科学相互割裂，很少有人能够精通两个领域的知识。但是，依随计算机技术的迅猛发展，动漫动画，VR/AR技术中已经大量使用现代的拓扑和几何知识。我们相信，这两个领域的融合必将成为时代发展的趋势。传统数学教育的周期过长，内容体系过于抽象，无法为工程背景的学生迅速理解和接受。如何将现代几何与拓扑用简单直接的方式讲解，并与工程科学紧密结合，这对广大教育者也提出了严峻的挑战。或许，VR/AR技术的出现和蓬勃发展，为这一问题提供了可行的解决方案。
延伸阅读
① VR/AR背后的弄潮儿（1）：微分几何之逼近理论
② VR/AR背后的弄潮儿（2）：微分几何之数据压缩理论
③ VR/AR背后的弄潮儿（3）：微分几何之曲面映射理论
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